SI Të NUMëROJ FAQET Në OPENOFFICE

Aftësia për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve shpesh mund të jetë e dobishme jo vetëm në shkollë, por edhe në praktikë. Në të njëjtën kohë, jo çdo përdorues i kompjuterit e di se Excel ka zgjidhjet e veta për ekuacionet lineare. Le të zbulojmë se si ta përdorim këtë vegël tabelare të procesorit për të përmbushur këtë detyrë në mënyra të ndryshme.

opsionet për zgjidhje

Çdo ekuacion mund të konsiderohet i zgjidhur vetëm kur rrënjët e saj gjenden. Në Excel, ekzistojnë disa opsione për gjetjen e rrënjëve. Le të shohim secilin prej tyre.

Metoda 1: Metoda e matricës

Mënyra më e zakonshme për të zgjidhur një sistem të ekuacioneve lineare me mjetet Excel është përdorimi i metodës së matricës. Ai konsiston në ndërtimin e një matrice nga koeficientët e shprehjeve, dhe pastaj në krijimin e një matrice inversi. Le të përpiqemi të përdorim këtë metodë për të zgjidhur sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve:

14x1+2x2+8X4=218 7x1-3x2+5x3+12X4=213 5x1+x2-2x3+4X4=83 6x1+2x2+x3-3X4=21

Ne plotësojmë matricën me numra që janë koeficientë të ekuacionit. Këto numra duhet të rregullohen me radhë, duke marrë parasysh vendndodhjen e secilës rrënjë në të cilën ato korrespondojnë. Nëse në ndonjë shprehje mungon një nga rrënjët, atëherë në këtë rast koeficienti konsiderohet të jetë i barabartë me zero. Nëse koeficienti nuk është treguar në ekuacion, por rrënja përkatëse është e pranishme, konsiderohet se koeficienti është i barabartë me 1. Trego tabelën që rezulton si një vektor A.

Veçmas, ne i shkruajmë vlerat pas shenjës së barabartë. Tregoni ato me emër të zakonshëm si vektor B.

Tani, për të gjetur rrënjët e ekuacionit, para së gjithash, duhet të gjejmë matricën, inversi i asaj ekzistuese. Për fat të mirë, në Excel ekziston një operator i posaçëm që është projektuar për të zgjidhur këtë problem. Është quajtur ASI. Ajo ka një sintaksë mjaft të thjeshtë:
= MBR (array)
argument "Array" - kjo është, në fakt, adresa e tabelës burimore.
Pra, ne zgjedhim në fletë një rajon të qelizave boshe, të cilat janë të barabarta në madhësi me diapazonin e matricës origjinale. Kliko në butonin "Funksioni i futjes"të vendosura pranë shiritit të formulës.

është filluar Zotëruesit e funksioneve. Shko te kategoria "Matematike". Në listë ne po kërkojmë emrin "ASI". Pasi të gjendet, zgjidhni atë dhe klikoni mbi butonin. "OK".

Fillon dritarja e argumentit të funksionit. ASI. Ajo ka vetëm një fushë nga numri i argumenteve - "Array". Këtu ju duhet të specifikoni adresën e tabelës sonë. Për këto qëllime, vendosni kursorin në këtë fushë. Pastaj ne e mbajmë butonin e majtë të miut dhe zgjidhni zonën në fletë në të cilën ndodhet matrica. Siç mund ta shihni, të dhënat në koordinatat e lokacionit futen automatikisht në dritare. Pas përfundimit të kësaj detyre, më e dukshmja do të jetë të klikoni një buton. "OK"por mos nxitoni. Fakti është se duke klikuar këtë buton është ekuivalent me përdorimin e komandës hyj. Por, kur punoni me vargje pas përfundimit të futjes së formulës, mos klikoni mbi butonin. hyjdhe të prodhojë një sërë çelësash shkurtore Ctrl + Shift + Enter. Kryeni këtë operacion.

Pra, pas kësaj, programi kryen llogaritjet dhe në daljen në zonën e parazgjedhur ne kemi anasjelltën e matricës.

Tani do të duhet të shumëfishojmë matricën inversi nga matrica. Bi cili përbëhet nga një kolonë vlerash të vendosura pas shenjës "Barabartë" në shprehje. Për shumëzimin e tabelave në Excel gjithashtu ka një funksion të veçantë, i cili quhet MMULT. Kjo deklaratë ka sintaksën e mëposhtme:
= MUMNOGUE (Array1; Array2)
Zgjidh gamën, në rastin tonë të përbërë nga katër qeliza. Pastaj të vazhdojë përsëri Funksion magjistarduke klikuar ikonën "Funksioni i futjes".

Në kategorinë "Matematike", Drejtuar Zotëruesit e funksionevezgjidhni emrin "MMULT" dhe klikoni mbi butonin "OK".

Aktivizohet dritarja e argumentit të funksionit. MMULT. Në fushë "Array1" futni koordinatat e matricës tonë inversi. Për ta bërë këtë, si herën e fundit, caktoni kursorin në fushë dhe mbani shtypur butonin e majtë të miut, zgjidhni tabelën përkatëse me kursorin. Një veprim i ngjashëm kryhet për të bërë koordinatat në terren "Array2", vetëm këtë herë ne zgjedhim vlerat e kolonës. B. Pas marrjes së veprimeve të mësipërme, përsëri ne nuk ngutemi për të shtypur butonin "OK" ose kyç hyj, dhe shkruani kombinimin kyç Ctrl + Shift + Enter.

Pas këtij veprimi, rrënjët e ekuacionit shfaqen në qelizën e përzgjedhur më parë: X1, X2, X3 dhe X4. Ata do të rregullohen në seri. Kështu, mund të themi se e kemi zgjidhur këtë sistem. Për të verifikuar korrektësinë e zgjidhjes, mjafton që të zëvendësohen përgjigjet e dhëna në sistemin e shprehjes origjinale në vend të rrënjëve korresponduese. Nëse barazia mbrohet, kjo do të thotë që sistemi i paraqitur i ekuacioneve është zgjidhur në mënyrë korrekte.

mësim: Excel Matrix Reverse

Metoda 2: përzgjedhja e parametrave

Metoda e dytë e njohur për zgjidhjen e sistemit të ekuacioneve në Excel është përdorimi i metodës së përzgjedhjes së parametrave. Thelbi i kësaj metode është të kërkosh të kundërtën. Kjo është, bazuar në një rezultat të njohur, ne kërkojmë një argument të panjohur. Le të përdorim ekuacionin kuadratik për shembull.

3x ^ 2 + 4x-132 = 0

Prano vlerën x për të barabartë 0. Llogaritni vlerën përkatëse për të f (x)duke aplikuar formulën e mëposhtme:
= 3 * x ^ 2 + 4 * x-132
Në vend të vlerës "X" zëvendësoni adresën e qelizës ku është vendosur numri 0të marra nga ne x.

Shko te tab "Data". Ne shtypim butonin "Analiza" çka nëse. Ky buton vendoset në shiritin në kutinë e veglave. "Duke punuar me të dhënat". Hapet një listë dropdown. Zgjidhni një pozicion në të "Përzgjedhja e parametrave ...".

Hapet dritarja e zgjedhjes së parametrave. Siç mund ta shikoni, ajo përbëhet nga tri fusha. Në fushë "Instalo në një qelizë" specifikoni adresën e qelizës ku gjendet formulari f (x)të llogaritur nga ne pak më herët. Në fushë "Vlera" futni numrin "0". Në fushë "Ndryshimi i vlerave" specifikoni adresën e qelizës ku është vendosur vlera xtë miratuara më parë nga ne 0. Pas kryerjes së këtyre veprimeve, klikoni mbi butonin "OK".

Pas kësaj, Excel do të kryejë një llogaritje duke përdorur përzgjedhjen e parametrave. Kjo do të informojë dritaren e shfaqur të informacionit. Ajo duhet të klikojë në butonin "OK".

Rezultati i llogaritjes së rrënjës së ekuacionit do të jetë në qelizën që kemi caktuar në fushë "Ndryshimi i vlerave". Në rastin tonë, siç e shohim x do të jetë e barabartë me 6.

Ky rezultat gjithashtu mund të kontrollohet duke zëvendësuar këtë vlerë në shprehjen e zgjidhur në vend të vlerës x.

mësim: Përzgjedhja e parametrave në Excel

Metoda 3: Metoda Cramer

Tani do të përpiqemi të zgjidhim sistemin e ekuacioneve me metodën Kramer. Për shembull, le të marrim të njëjtin sistem që përdoret Metoda 1:

14x1+2x2+8X4=218 7x1-3x2+5x3+12X4=213 5x1+x2-2x3+4X4=83 6x1+2x2+x3-3X4=21

Si në metodën e parë, ne e bëjmë matricën A nga koeficientët e ekuacioneve dhe tabelës B e vlerave që ndjekin shenjën "Barabartë".

Për më tepër ne bëjmë edhe katër tavolina të tjera. Secili prej tyre është një kopje e matricës. A, vetëm këto kopje kanë një kolonë nga ana e tyre e zëvendësuar nga një tabelë B. Në tabelën e parë është kolona e parë, në tabelën e dytë është e dyta, e kështu me radhë.

Tani duhet të llogarisim përcaktuesit për të gjitha këto tabela. Sistemi i ekuacioneve do të ketë zgjidhje vetëm nëse të gjithë përcaktuesit kanë një vlerë tjetër nga zero. Për të llogaritur këtë vlerë përsëri në Excel ekziston një funksion i veçantë - MDETERM. Sintaksa e kësaj deklarate është si më poshtë:
= MEPRED (array)
Kështu, si funksioni ASI, i vetmi argument është referenca për tryezën që po përpunohet.
Pra, zgjidhni qelizën në të cilën përcaktuesi i matricës së parë do të shfaqet. Pastaj klikoni mbi butonin e njohur nga metodat e mëparshme. "Funksioni i futjes".

Dritarja e aktivizuar Zotëruesit e funksioneve. Shko te kategoria "Matematike" dhe në listën e operatorëve, zgjidhni emrin atje "MDETERM". Pas kësaj, kliko mbi butonin "OK".

Fillon dritarja e argumentit të funksionit. MDETERM. Siç mund ta shihni, ajo ka vetëm një fushë - "Array". Futni adresën e matricës së parë të transformuar në këtë fushë. Për ta bërë këtë, vendosni kursorin në fushë dhe pastaj zgjidhni diapazonin e matricës. Pas kësaj, kliko mbi butonin "OK". Ky funksion shfaq rezultatin në një qelizë të vetme, në vend të një grupi, kështu që për të marrë llogaritjen, nuk duhet të përdoret për të shtypur një kombinim kyç Ctrl + Shift + Enter.

Funksioni llogarit rezultatin dhe e tregon atë në një qelizë të parazgjedhur. Siç e shohim, në rastin tonë, përcaktuesi është -740, që është, nuk është e barabartë me zero që na përshtatet.

Në mënyrë të ngjashme, ne llogarisim përcaktuesit për tre tabelat e tjera.

Në fazën përfundimtare ne llogarisim përcaktuesin e matricës primare. Procedura është e gjitha algoritmi i njëjtë. Siç e shohim, përcaktuesi i tabelës primare është gjithashtu jo-zero, që do të thotë se matrica konsiderohet e parëndësishme, dmth. Sistemi i ekuacioneve ka zgjidhje.

Tani është koha për të gjetur rrënjët e ekuacionit. Rrënja e ekuacionit do të jetë e barabartë me raportin e përcaktuesit të matricës përkatëse të transformuar me përcaktuesin e tabelës primare. Kështu, ndarja nga ana e të katër faktorëve të matricave të transformuara nga numri -148që është përcaktuesi i tabelës origjinale, marrim katër rrënjë. Siç mund ta shihni, ato janë të barabarta me vlerat 5, 14, 8 dhe 15. Kështu, ata janë saktësisht të njëjtë me rrënjët që gjetëm duke përdorur matricën e anasjelltë metoda 1që konfirmon korrektësinë e zgjidhjes së sistemit të ekuacioneve.

Metoda 4: Metoda e Gausit

Sistemi i ekuacioneve mund të zgjidhet duke zbatuar metodën Gaus. Për shembull, le të marrim një sistem më të thjeshtë të ekuacioneve nga tre të panjohura:

14x1+2x2+8x3=110 7x1-3x2+5x3=32 5x1+x2-2x3=17

Përsëri ne vazhdimisht shkruajmë koeficientët në tabelë. Adhe anëtarët e lirë pas shenjës "Barabartë" - në tryezë B. Por këtë herë ne do të sjellim dy tavolina së bashku, pasi ne do të kemi nevojë për këtë për të punuar më tej. Një kusht i rëndësishëm është se në qelizën e parë të matricës A vlera nuk ishte zero. Përndryshe, riorganizoni linjat.

Kopjoni rreshtin e parë të dy matricave të lidhura në vijën e mëposhtme (për qartësi, mund të kaloni një rresht). Në qelizën e parë, e cila gjendet në vijë edhe më e ulët se ajo e mëparshme, futni formulën e mëposhtme:
= B8: E8- $ B $ 7: $ E $ 7 * (B8 / $ B $ 7)
Nëse renditni matricat ndryshe, atëherë adresat e qelizave të formulës do të keni një kuptim tjetër, por ju do të jeni në gjendje t'i llogarisni, duke i krahasuar ato me formulat dhe imazhet që paraqiten këtu.
Pas futjes së formulës, zgjidhni rreshtin e tërë të qelizave dhe shtypni kombinimin e butonit Ctrl + Shift + Enter. Formula e grupeve do të aplikohet në rresht dhe do të mbushet me vlera. Kështu, zbritëm nga vija e dytë e parë e shumëzuar me raportin e koeficientëve të parë të dy shprehjeve të para të sistemit.

Pas kësaj, kopjoni vargun rezultues dhe ngjiteni në vijën e mëposhtme.

Zgjidhni dy linjat e para pas vijës së humbur. Ne shtypim butonin "Copy"e cila gjendet në shiritin në tab "Home".

Ne e kalojmë vijën pas hyrjes së fundit në fletë. Zgjidhni qelizën e parë në vijën tjetër. Kliko butonin e djathtë të mausit. Në menunë e kontekstit të hapur, lëvizni kursorin në artikull "Paste Speciale". Në listën shtesë të ekzekutimit, zgjidhni pozicionin "Vlerat".

Në vijën tjetër, futni formulën e grupit. Zbron nga rreshti i tretë i grupit të të dhënave të mëparshme rreshtin e dytë shumëzuar me raportin e koeficientit të dytë të rreshtit të tretë dhe të dytë. Në rastin tonë formula do të jetë si më poshtë:
= B13: E13- $ B $ 12: $ E $ 12 * (C13 / $ C $ 12)
Pasi të futni formulën, zgjidhni gjithë serinë dhe përdorni çelësin e shkurtoreve Ctrl + Shift + Enter.

Tani është e nevojshme për të ekzekutuar drejtimin e kundërt sipas metodës Gausit. Kalo tre rreshta nga hyrja e fundit. Në vijën e katërt, futni formulën e grupit:
= B17: E17 / D17
Kështu, ndajmë rreshtin e fundit të llogaritur prej nesh në koeficientin e tretë. Pas shtypjes së formulës, zgjidhni të gjithë vijën dhe shtypni kombinimin e butonit Ctrl + Shift + Enter.

Ne ngremë linjën dhe futemi në atë formulën e vijës së grupit:
= (B16: E16-B21: E21 * D16) / C16
Ne shtypim kombinimin e zakonshëm të çelësave për aplikimin e formulës së grupit.

Ne ngrihemi një vijë më lart. Në të, ne hyjmë në formulën e grupit të formës në vijim:
= (B15: E15-B20: E20 * C15-B21: E21 * D15) / B15
Përsëri, zgjidhni të gjithë vijën dhe përdorni shortcut Ctrl + Shift + Enter.

Tani shikojmë numrat që dalin në kolonën e fundit të bllokut të fundit të rreshtave, të llogaritur nga ne më parë. Janë këto numra (4, 7 dhe 5) do të jenë rrënjët e këtij sistemi të ekuacioneve. Ju mund ta kontrolloni këtë duke i zëvendësuar ato për vlera. X1, X2 dhe X3 në shprehje.

Siç mund ta shihni, në Excel, sistemi i ekuacioneve mund të zgjidhet në një numër mënyrash, secila prej të cilave ka avantazhet dhe disavantazhet e veta. Por të gjitha këto metoda mund të ndahen në dy grupe të mëdha: matrica dhe duke përdorur mjetin e përzgjedhjes së parametrave. Në disa raste, metodat e matricës nuk janë gjithmonë të përshtatshme për zgjidhjen e një problemi. Në veçanti, kur përcaktuesi i matricës është zero. Në raste të tjera, përdoruesi është i lirë të vendosë se cili opsion ai e konsideron më të përshtatshëm për vete.